Персональный блог | Константин Моренко

Всё, что интересует меня и может быть полезно и интересно другим

Условие задачи

Частица соскальзывает с вершины по поверхности гладкой полусферы радиусом имея нулевую начальную скорость. Найти высоту, на которой частица оторвётся от поверхности полусферы.

Решение

Схема движения частицы и распределение сил

Хотя частица, находящаяся на вершине гладкой полусферы с нулевой начальной скоростью не может соскользнуть по поверхности, поскольку находится в состоянии неустойчивого равновесия и любое возмущение приведёт к выходу из положения равновесия. Однако, в условии задачи указано, что частица соскальзывает, поэтому будем считать, что такое возмущение имело место, но его величина слишком мала и ей можно пренебречь.

Рассмотрим произвольный момент движения частицы до отрыва от поверхности полусферы. Сила тяжести играет роль центростремительной силы, которая удерживает частицу на поверхности полусферы. До тех пор, пока проекция силы тяжести на нормаль к вектору скорости частицы (который направлен по касательной к поверхности полусферы до момента отрыва), то есть центростремительная сила , превышает отношение квадрата скорости частицы к радиусу кривизны траектории (радиус полусферы), то есть величины требуемой центростремительной силы для образования траектории кривизной , частица прижимается к поверхности полусферы, то есть

В процессе движения частицы величина центростремительной силы будет уменьшаться из-за того, что проекция силы тяжести на нормаль к вектору скорости будет уменьшаться. В то же время скорость частицы будет увеличиваться, что приведёт к увеличению силы, которая необходима для удержания частицы на поверхности. В момент отрыва частицы эти силы сравняются. Используем этот факт для определения высоты.

Величина центростремительной силы представляет собой проекцию силы тяжести на нормаль к вектору скорости частицы, что согласно рисунку будет

где угол определяет угловое положение частицы на поверхности полусферы. При этом величина требуемой центростремительной силы может быть определена через скорость частицы и радиус кривизны траектории

Рассмотрим скорость частицы. Поскольку частица начинает движение с нулевой начальной скоростью, а среди внешних сил на неё действует только сила тяжести, вся потенциальная энергия частицы переходит в кинетическую (при указанном отсутствии сил трения). Поскольку частица опустилась на некоторую высоту , это привело к увеличению её скорости; потенциальная энергия высоты преобразовалась в кинетическую энергию движения.

Поскольку частица одна и та же, в обеих частях уравнения присутствует масса, которую можно сократить

или

Центростремительная сила с учётом того, что будет равна

Приравняем их согласно уравнению

разделим обе части на

Рассмотрим геометрическое определение косинуса. В прямоугольном треугольнике (образованном частицей P и вертикальной осью, проходящей через центр полусферы) значение косинуса угла может быть определено через отношение прилежащего катета к гипотенузе, то есть

Тогда уравнение принимает вид

Умножим обе части уравнения на и выразим

Таким образом, высота, на которой частица оторвётся от поверхности полусферы, равна радиуса полусферы.